My Profil :

 

Nama : Maudy Clarita Ang

TTL : Ambon,23 July 2000

Nim : 201842089

 Bunga

1. Bunga

Kalian pernah mendengar kalimat seperti “Pak Roni membeli sepeda motor secara angsuran dengan suku bunga sebesar 15%” atau “pedagang itu mendapatkan pinjaman dana dari bank dengan bunga 2% per bulan”. Pada kalimat tersebut terdapat istilah "bunga", yaitu jasa dari pinjaman atau simpanan yang dibayarkan pada akhir jangka waktu yang telah disepakati bersama. Contohnya sistem kredit motor, mobil, rumah, bahkan modal. Pada artikel ini, kita akan mempelajari cara menghitung bunga tunggal dengan setoran tunggal dan bunga tunggal dengan setoran majemuk. Simak lebih lanjut, yuk!

- Pengertian Bunga Tunggal

Bunga tunggal adalah bunga yang diperoleh pada setiap akhir jangka waktu tertentu yang tidak mempengaruhi besarnya modal yang dipinjam. Dalam kata lain, perhitungan bunga setiap periode selalu dihitung berdasarkan besarnya modal yang tetap.

Artinya, penabung menabung hanya sekali di awal periode, setelah itu terus dibungakan selama beberapa periode.

Besarnya bunga dinyatakan dalam % (persen) dan disebut sebagai suku bunga. Suku bunga adalah perbandingan antara bunga dengan modal dalam satuan waktu tertentu (bulan atau tahun). Sehingga, suku bunga per tahunnya dinyatakan dengan:

Contoh:

Marsha meminjam uang di bank sejumlah Rp 1.500.000,00. Dalam jangka waktu satu tahun, ia harus mengembalikan Rp 1.620.000,00. Uang Rp 1.500.000,00 disebut sebagai modal dan uang kelebihan Rp 120.000,00 disebut bunga atau jasa atas pinjaman modal. Maka suku bunga pinjaman Marsha adalah…

Jawab:

Dalam bentuk yang lebih umum, jika suatu modal Mo dibungakan dengan jasa modal sebesar B, maka suku bunga b per satuan waktu ditentukan dengan rumus:

Jika modal Mo dibungakan selama n periode (bulan atau tahun) dan suku bunga b% (per bulan atau per tahun) dengan cara bunga tunggal, maka rumus menentukan besar modal beserta bunganya adalah:

Kemudian besar bunga yang diterima per periode adalah:

Contoh:

Modal sebesar Rp 2.000.000,00 dipinjamkan dengan bunga tunggal. Hitunglah besarnya bunga dan modal akhir, jika suku bunga per tahun 11% dalam jangka waktu 5 tahun.

Jawab:

- Suku bunga 11% per tahun, bunga dalam 1 tahun:

B = (11/100)  x 2.000.000 = Rp 220.000,00

- Bunga dalam 5 tahun:

B = 5 x 220.000 = Rp 1.100.000,00

- Modal seluruhnya:

M = 2.000.000 + 1.100.000 = Rp 3.100.000,00

atau 

- Bunga Tunggal Setoran Berulang

Artinya, penabung tidak hanya menabung di awal periode tetapi konstan dalam jumlah yang sama di setiap periode pembungaan.

Contoh:

Mila menabung di bank dengan setoran setiap awal bulan sebesar A per bulan dengan bunga tunggal sebesar 10% per tahun. Jika ia menginginkan uangnya menjadi Rp 19.200.000,00 pada akhir bulan ke–15, maka berapa uang yang harus ia setorkan per bulannya?

Jawab:

Uang yang harus disetorkan per bulan:

Induksi Matematika

Induksi matematika merupakan suatu metode untuk membuktikan bahwa suatu pernyataan tertentu berlaku untuk setiap bilangan asli. Ada beberapa jenis: induksi matematika sederhana, induksi matematika diperluas, dan induksi matematika kuat.

> Induksi Matematika Sederhana

Induksi Matematika memiliki langkah dasar yang harus ditempuh untuk membuktikan bahwa kebenaran suatu pernyataan berlaku untuk setiap bilangan asli. Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut.

1. Langkah dasar: Pada langkah ini, Quipperian harus membuktikan bahwa suatu pernyataan berlaku untuk P(1) atau P(n).
2. Langkah induksi: Jika suatu pernyataan berlaku untuk P(1) atau P(n), maka pernyataan itu juga harus berlaku untuk p(k) atau P(k + 1).

Contoh Soal

Buktikan bahwa penjumlahan n bilangan asli berurutan berlaku!

Pembahasan:

• Pertama-tama, kamu harus menentukan langkah dasarnya.

Langkah dasar:

Oleh karena P(1) = 1, maka jelas benar (berlaku), artinya P(n₀) = benar

• Langkah induksi: Jika P(1) benar, maka pernyataan tersebut harus benar untuk P(k+1) dengan k ≥ n₀,
  
  
  

Benar, Sehingga ;

Oleh karena P(k + 1) mengikuti bentuk pernyataan P(n), maka P(k) bernilai benar.

bernilai benar untuk semua bilangan n ≥ 1.

> Induksi Matematika Diperluas

Setiap pernyataan yang memuat n bilangan asli, ternyata tidak harus dimulai dari angka 1, lho. Itulah sebabnya, Induksi Matematika bisa diperluas dengan langkah-langkah berikut.

1. Langkah dasar: Pembuktian bahwa suatu pernyataan berlaku untuk P(m).
2. Langkah induksi: Pembuktian bahwa jika pernyataan berlaku untuk P(k), dengan k≥m, maka pernyataan tersebut juga berlaku untuk P(k + 1).

Contoh Soal

Buktikan bahwa n²≥ 2n + 7 untuk semua bilangan asli n≥5.

Penyelesaian :

1. Teman-teman  harus memisalkan bahwa P(n) = n²≥ 2n + 7  untuk semua bilangan asli n≥4.

Bilangan asli yang bisa Teman-teman masukkan di awal, bukanlah 1 melainkan 4 karena terdapat keterangan bahwa semua bilangan asli n≥4.

Artinya, P(4) bernilai benar

2. Selanjutnya, Teman-teman harus memisalkan bahwa P(k) benar untuk k≥4 (hipotesis induksi).

Berdasarkan hipotesis di atas diperoleh:

Setelah  mendapatkan persamaan di atas, cobalah buktikan bahwa P(k + 1) juga bernilai benar.

(k+1)²≥ 2(k+1) + 7

Hipotesis induksi menyatakan bahwa (k+1)²≥ 2(k+1) + 14 bernilai benar, maka (k+1)²≥ 2(k+1) + 7 otomatis juga akan bernilai benar karena 14 > 7.

Jadi, pernyataan n²≥ 2n + 7  benar untuk setiap n≥4.

> Induksi Matematika Kuat

Prinsip dasar pada induksi matematika kuat ini berbeda dengan sebelumnya. Jika sebelumnya cukup membuktikan bahwa P(1) benar, maka pada induksi matematika kuat ini, pernyataan harus bernilai benar untuk P(1), P(n_o + 1), P(n_o + 2), …, P(k). Selain itu, Quipperian juga harus membuktikan pernyataan benar untuk P(k + 1). Berikut ini adalah langkah-langkah yang harus Quipperian tempuh untuk induksi matematika kuat.

1. Langkah dasar: Buktikan bahwa P(n_o) benar.
2. Langkah induksi: Jika P(n_o), P(n_o+ 1), P(n_o + 2), …, P(k) benar untuk k ≥ n_o, maka gunakan hal itu untuk membuktikan bahwa P(k + 1) juga benar.

Contoh Soal

Buktikan bahwa setiap bilangan bulat positif n ≥ 2 dapat dinyatakan sebagai perkalian dari satu atau lebih bilangan prima.

Pembahasan:

1. harus menentukan langkah dasarnya terlebih dahulu, yaitu n = 2 dengan 2 merupakan bilangan prima, sehingga pernyataan ini benar.

2.  bisa melanjutkan dengan menentukan langkah induksinya.

Coba  misalkan bahwa 2, 3, 4, 5, …, k dapat dinyatakan sebagai hasil perkalian antara satu atau lebih bilangan prima. Dengan demikian, k +1 juga merupakan hasil perkalian antara satu atau lebih bilangan prima. Artinya  k + 1 bisa berupa bilangan prima atau nonprima (komposit).

• Jika k + 1 merupakan bilangan prima, maka k + 1 dapat dinyatakan sebagai hasil kali k  + 1 itu sendiri.
• Jika k + 1 bukan bilangan prima, maka pembagi k + 1 tidak hanya 1 atau k + 1 itu sendiri, melainkan ada bilangan lain. Misalnya, bilangan lain itu dinotasikan p dan hasil baginya q. Secara matematis, dapat ditulis sebagai berikut.

• Oleh karena 2 ≤ p, q ≤ k, maka nilai p dan q yang mungkin, yaitu 2, 3, 4, …, k. Jika Quipperian perhatikan, nilai p dan q yang mungkin merupakan hasil kali satu atau lebih bilangan prima, sehingga pq jelas menunjukkan hasil kali satu atau lebih bilangan prima. Oleh karena k + 1 = pq, maka k + 1 juga merupakan hasil kali satu atau lebih bilangan prima. Artinya, P(k + 1) bernilai benar.

Jadi, terbukti ya  jika pernyataan n ≥ 2 benar untuk setiap bilangan asli n ≥ 2.

 

 Matriks

Matriks adalah kumpulan bilangan yang disusun secara baris atau kolom atau kedua-duanya dan di dalam suatu tanda kurung. Bilangan-bilangan yang membentuk suatu matriks disebut sebagai elemen-elemen matriks. 

Matriks digunakan untuk menyederhanakan penyampaian data, sehingga mudah untuk diolah. Biasanya dilambangkan dalam huruf kapital.

Ilustrasi di atas dapat kamu baca seperti ini: a11 dibaca baris ke-1 dan kolom ke-1; a12 dibaca baris ke-1 dan kolom ke-2; atau amn yang berarti baris ke-m dan kolom ke-n. Banyaknya baris dan kolom dalam matriks disebut dengan ordo. Urutan yang perlu diingat adalah baris kemudian kolom. Matriks dalam ilustrasi di bawah ini memiliki ordo 2x3, karena memiliki dua baris dan tiga kolom.

> Jenis-jenis Matriks

Matriks dapat dikelompokan ke beberapa jenis berdasarkan pada jumalah baris dan kolom serta pola elemen matriksnya sebagai berikut :

1. Matriks Baris dan Matriks Kolom

Matriks baris adalah suatu matriks yang hanya memiliki satu baris saja. Sedangkan, matriks kolom adalah suatu matriks yang hanya memiliki satu kolom saja.

Contoh:

A = (1  4) atau B = (3  7  9) adalah matriks baris.

adalah matriks kolom.

2. Matriks Persegi

Matriks yang memiliki jumlah kolom dan baris yang sama disebut matriks persegi. Matriks persegi memiliki ordo n. 

Contoh :

, Matriks persegi berordo 2.

, Matriks persegi berordo 3.

3. Matriks Segitiga Atas dan Segitiga Bawah

, Matriks Segitiga atas.

,Matriks Segitiga bawah.

4. Matriks Skalar

Matriks diagonal yang memiliki elemen-elemen pada diagonal utamanya bernilai sama disebut matriks skalar.

Contoh:

5. Matriks Indentitas

Matriks konstanta, yang elemen diagonal utamanya adalah 1.

Selain jenis-jenis matriks, ada juga yang disebut dengan transpose matriks. Ingat ‘kan kalau matriks selalu dilambangkan dengan huruf kapital? Misalnya lambang satu matriks adalah A. Nah, transpose dari matriks A dilambangkan dengan A’ (dengan tanda petik satu di atasnya). 

Transpose sendiri dilakukan dengan meletakkan baris pada matriks A menjadi kolom pada matriks A’, begitu juga sebaliknya.

 Integral

Integral merupakan bentuk penjumlahan kontinu yang terdiri dari anti turunan atau kebalikan dari turunan. Jenis-jenis integral; integral tentu dan integral tak tentu.

> Pengertian Integral

Integral adalah bentuk penjumlahan berkesinambungan (kontinu) yang merupakan anti turunan atau kebalikan dari turunan. Adapun contoh bentuk turunan adalah sebagai berikut.

> Rumus Dasar Integral

Adapun rumus dasar yang digunakan adalah sebagai berikut.

> Jenis-jenis Integral

Berdasarkan bentuk hasilnya, integral dibagi menjadi dua, yaitu integral tak tentu dan integral tentu.

1. Integral tak tentu

Integral tak tentu adalah bentuk integral yang hasilnya berupa fungsi dalam variabel tertentu dan masih memuat konstanta integrasi. 

Oleh karena itu, rumus umum integral dinyatakan sebagai berikut.

dengan c adalah konstanta integrasi.

2. Integral tentu

Pada bahasan sebelumnya, telah dijelaskan tentang integral tak tentu di mana hasil dari integrasinya masih berupa fungsi. Jika hasil integrasinya berupa nilai tertentu, integralnya disebut integral tentu. Adapun bentuk umum integral tentu adalah sebagai berikut. 

dengan: x = a disebut batas bawah
             x = b disebut batas atas
Arti dari bentuk integral di atas adalah suatu f’(x) diintegralkan atau dijumlahkan secara kontinu mulai dari titik a sampai titik b, sehingga hasil akhir yang diperoleh akan berupa angka, tidak lagi fungsi.

a. Sifat-sifat Integral Tentu

Apabila f(x), g(x) terdefinisi pada selang a, b, maka diperoleh persamaan berikut.

b. Aplikasi Integral Tentu

Seperti teman-teman ketahui bahwa integral bisa diaplikasikan dalam kehidupan sehari-hari. Salah satu contoh yang umum dikenal adalah luas daerah. Luas daerah yang dimaksud adalah luas daerah di bawah kurva. Adapun langkah menghitungnya adalah sebagai berikut.

• Batas daerah yang akan diintegralkan harus jelas. Adapun batas daerah yang dimaksud adalah batas kiri dan kanannya serta batas atas dan bawahnya. Bentuk batas daerah bisa berupa fungsi atau konstanta, fungsi linier dan nonlinier (kuadrat, pangkat 3, akar pangkat). Bagaimana jika salah satu batas belum diketahui? teman-teman harus mencarinya terlebih dahulu, agar luasnya bisa dihitung.
• teman-temanharus mampu menggambar daerah di dalam kurva sesuai dengan batas-batas yang telah ditentukan (jika gambar masih dinyatakan dalam batas-batasnya saja). Oleh karena itu, diperlukan kemampuan untuk menggambar dengan baik.
• teman-teman juga harus bisa menempatkan rumus yang tepat untuk menghitung luas daerah berdasarkan ketentuan yang telah ada. Jangan lupa untuk memperhatikan gambar daerah dan rumus yang bersesuaian. teman-teman jangan khawatir ya, setiap daerah memiliki rumus fungsinya masing-masing, contohnya berikut ini.
  
  
  
  

c) Rumus cepat mencari luas
Rumus cepat tidak berlaku untuk seluruh daerah ya,Rumus ini berlaku pada daerah-daerah yang memiliki kondisi berikut.

• Memiliki dua batas fungsi, yaitu fungsi kuadrat dan fungsi kuadrat.
• Memiliki dua batas fungsi, yaitu fungsi kuadrat dan fungsi linear.

Jika memenuhi dua kondisi di atas, luasnya dapat dicari menggunakan persamaan berikut.
Lalu, apa yang dimaksud dengan a, b, dan c? Ketiga konstanta tersebut diperoleh dari proses berikut.

• Jika fungsinya y = f(x) dan y = g(x), maka buat fungsi selisihnya y = f(x) – g(x).
• Jika fungsinya y = f(y) dan y = g(y), maka buat fungsi selisihnya y = f(y) – g(y)
• Fungsi selisih yang sudah Quipperian dapatkan, jangan disederhanakan lagi agar teridentifikasi nilai a, b, dan c.
• Jika  sudah mendapatkan nilai a, b¸ dan c, substitusikan ke persamaan luas berikut. 
  

Untuk mengasah pemahaman teman-teman tentang materi integral pada fungsi aljabar, simak contoh-contoh soal berikut.

Contoh soal 1

Jika diketahui dan nilai , tentukan fungsi f(x)!
Pembahasan:
Untuk menentukan nilai f(x),  harus tahu bahwa fungsi f(x) merupakan bentuk integral dari f’(x).

Persamaan di atas masih memuat konstanta integrasi, c, sehingga teman-teman harus mencari nilai c tersebut dengan mensubstitusikan nilai fungsi yang diketahui.

Jadi, nilai fungsi yang diminta adalah sebagai berikut.

Contoh soal 2

Tentukan luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini!

Penyelesaian:

Tentukan batas-batasnya terlebih dahulu.

• Batas kanan:  x√y
• Batas kiri: sumbu y (x = 0)
• Batas atas: y = 9
• Batas bawah: y = 0

Luas daerah yang diarsir adalah

Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 18 satuan luas.

Contoh soal 3

Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh y = x2 – 3x – 10 dengan y = x + 2!

Pembahasan:

Berdasarkan soal di atas, terlihat bahwa daerah dibatasi oleh 2 fungsi, yaitu fungsi kuadrat y = x2 – 3x – 10 dan fungsi linier y = x + 2, sehingga berlaku rumus cepat untuk luas.

Substitusikan nilai a, b, dan c yang sudah diperoleh ke dalam persamaan berikut.

Luas daerahnya adalah sebagai berikut ;